Wann sind die Kinder zusammen so alt wie Mutter oder Vater?

Diese Seite stellt eine Formel zur Berechnung des Zeitpunkts vor, zu dem das aufaddierte Alter der Kinder gleich dem eines Elternteils ist.

Achtung: Diese Seite verwendet MathML zur Präsentation mathematischer Sachverhalte. Nicht jeder Browser kann damit umgehen. Falls möglich, bei Darstellungsproblemen einen MathML-fähigen Web-Browser wie eine neuere Version von Firefox verwenden.

Herleitung der Formel

Angenommen, eine Mutter sei zum Zeitpunkt $X$ geboren. Sie habe nun $k$ Kinder, $k \geq 2$ (ein einzelnes Kind kann das Alter des Elternteils nie einholen, solange nicht im Todesfall aufgehört wird, zu zählen; darum soll es hier aber nicht gehen).

Die Kinder seien zu den Zeitpunkten ${X_{1}, \dots, X_{k}}$ geboren. Für alle Zeitpunkte muß logischerweise gelten, daß sie nach dem der Geburt der Mutter liegen, also $\forall i \in {1, \dots, k}: X < X_{i}$ .

Gesucht ist nun der Zeitpunkt $x > X$ , zu dem das Alter der Mutter gleich der Summe der einzelnen Alterswerte der Kinder ist. Ein Alter zu einem Zeitpunkt $x$ erhält man, indem man von diesem den Zeitpunkt der Geburt subtrahiert, für die Mutter also $x - X$ , für das erste Kind $x - X_{1}$ , usw.

Es läßt sich folgende Gleichung aufstellen. Auf der linken Seite das Alter der Mutter, auf der rechten Seite die Summe der Alterswerte aller Kinder. Alle „großen“ $X$ -Werte sind ebenso wie die Anzahl der Kinder $k$ beliebig aber fest und somit im Kontext der Gleichung Konstanten. Die Gleichung ist damit nur vom gesuchten Zeitpunkt $x$ als Variable abhängig und läßt sich durch Umformen wie folgt auflösen:

\begin{matrix} x - X & = & \sum_{i = 1}^{k} (x - X_{i}) & Summe aufteilen \\ \Leftrightarrow & x - X & = & \sum_{i = 1}^{k} (x) + \sum_{i = 1}^{k} (- X_{i}) & linke Summe vereinfachen \\ \Leftrightarrow & x - X & = & k x + \sum_{i = 1}^{k} (- X_{i}) & X auf die rechte Seite bringen \\ \Leftrightarrow & x & = & X + k x + \sum_{i = 1}^{k} (- X_{i}) & k x auf die linke Seite bringen \\ \Leftrightarrow & x - k x & = & X + \sum_{i = 1}^{k} (- X_{i}) & x isolieren \\ \Leftrightarrow & (1 - k) x & = & X + \sum_{i = 1}^{k} (- X_{i}) & durch (1 - k) teilen \\ \Leftrightarrow & x & = & \frac{X + \sum_{i = 1}^{k} (- X_{i})}{(1 - k)} \end{matrix}

Die Division durch $(1 - k)$ in der vorletzten Zeile ist stets erlaubt, da wir von $k \geq 2$ ausgehen, der Term $(1 - k)$ somit nicht Null werden kann.

Beispiel-Anwendung

Sei die Mutter nun 1960 geboren und ihre zwei Kinder 1990 und 1992. Also $X = 1960, X_{1} = 1990, X_{2} = 1992, k = 2$ . Dann erhält man durch Einsetzen:

\begin{matrix} x & = & \frac{1960 + (- 1990 - 1992)}{(1 - 2)} \\ \Leftrightarrow & x & = & \frac{- 30 - 1992}{- 1} \\ \Leftrightarrow & x & = & \frac{- 2022}{- 1} \\ \Leftrightarrow & x & = & 2022 \end{matrix}

Demnach wird im Jahr 2022 die Altersgleichheit erreicht sein.

Probe

Tatsächlich wird die Mutter dann $2022 - 1960 = 62$ Jahre alt sein, das erste Kind $2022 - 1990 = 32$ und das zweite Kind $2022 - 1992 = 30$ , zusammen also ebenfalls $62$ .

Genauer Zeitpunkt

Im gerade durchgerechneten Beispiel werden Jahreszahlen als Zeitpunkte verwendet. Das verwischt etwas die Tatsache, daß eine genaue Altersgleichheit nur in einem Moment besteht, danach sind die zwei oder mehr Kinder älter als ihr Elternteil. Wie berechnet man aber nun diesen genauen Zeitpunkt?

Dazu eignet sich ein Kalenderformat, welches besonders einfache aber genaue Datenarithmetik erlaubt, also das Addieren von Zeiträumen auf Daten. Der heutzutage in vielen Teilen der Welt verwendete Gregorianische Kalender mit seinen Monaten mit unterschiedlichen Tagesanzahlen und allerlei Regeln für Schaltjahre fällt sicher nicht in diese Kategorie. Um beispielsweise die Differenz zwischen dem 30. August 1953 und dem 17. September 2003 in Tagen zu ermitteln, muß man erst mal eine Weile knobeln.

Besser geeignet ist das Julianische Datum (nicht zu verwechseln mit dem Julianischen Kalender). Beim Julianischen Datum wird ein Datum samt einer Uhrzeit in einer einzelnen Bruchzahl festgehalten. Dabei entspricht eine Differenz von 1 im Julianischen Datum genau einem Tag, 0,50 einem halben Tag, also zwölf Stunden, usw.

Festgelegt wurde weiterhin, daß das JD 0 dem 1. Januar 4712 vor Christus um 12:00 Uhr entspricht. Sobald man ein Datum im Gregorianischen (oder einem anderen Kalender) in das JD-Format gebracht hat, bekommt man als angenehme Eigenschaft, die Differenz zwischen zwei Zeitpunkten einfach und genau durch Subtraktion ermitteln zu können.

Um das Beispiel von oben wieder aufzugreifen, geben wir nun den drei Personen genaue Geburtsdaten:

Mutter 8. März 1960,
erstes Kind 14. September 1990 und
zweites Kind 25. Januar 1992.

Um diese ins Julianische Datum zu überführen, verwendet man am besten einen Konverter wie den von Heinrich Bernd (alternativ ein Algorithmus zum Selberrechnen). Man erhält dann für die drei genannten Daten folgende Werte: 2437002, 2448149 und 2448647. Setzt man diese wie in der Beispiel-Anwendung statt 1960, 1990 und 1992 ein, erhält man als Ergebnis 2459794. Mit dem Konverter rückübersetzt erhält man so das genaue Datum der Altersgleichheit, den 2. August 2022.

Auch hier wurde wieder etwas vereinfacht und die Uhrzeit weggelassen bzw. 12 Uhr mittags für alle drei Personen angenommen. Mit etwas mehr Aufwand (oder einem anderen Konverter, der Uhrzeiten verarbeitet) ließe sich somit auch die Uhrzeit der Altersgleichheit genau bestimmen.